2017小学趣味数学故事：数学的公理化

2017-04-25 14:29:01来源：网络

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　　希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。

　　希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、面的直观意义要抛掉，应该研究的只是它们之间的关系，关系由公理来体现。几何学是对空间进行逻辑分析，而不诉诸直观。

　　希尔伯特的公理系统包括二十条公理，他把它们分为五组：第一组八个公理，为关联公理(从属公理)；第二组四个公理，为次序公理；第三组五个公理；第四组是平行公理；第五组二个，为连续公理。

　　希尔伯特在建立公理系统之后，首要任务是证明公理系统的无矛盾性。这个要求很自然，否则如果从这个公理系统中推出相互矛盾的结果来，那么这个公理系统就会毫无价值。希尔伯特在《几何学基础》第二章中证明了他的公理系统的无矛盾性。这次，他不能象非欧几何那样提出欧氏模型，他提出的是算术模型。

　　实际上，由解析几何可以把点解释为三数组(可以理解为坐标(x、y、z))，直线表示为方程，这样的模型不难证明是满足所有20个公理的。因此，公理的推论若出现矛盾，则必定在实数域的算术中表现出来。这就把几何学公理的无矛盾性变成实数算术的无矛盾性。

　　其次，希尔伯特考虑了公理系统的独立性，也就是说公理没有多余的。一个公理如果由其他公理不能推出它来，它对其他公理是独立的。假如把它从公理系统中删除，那么有些结论就要受到影响。希尔伯特证明独立性的方法是建造模型，使其中除了要证明的公理(比如说平行公理)之外其余的公理均成立，而且该公理的否定也成立。

　　由于这些公理的独立性和无矛盾性，因此可以增减公理或使其中公理变为否定，并由此得出新的几何学。比如平行公理换成其否定就得到非欧几何学；阿基米德公理(大意是一个短线段经过有限次重复之后，总可以超出任意长的线段)换成非阿基米德的公理就得到非阿基米德几何学。希尔伯特在书中详尽地讨论了非阿基米德几何学的种种性质。

　　希尔伯特对初等几何公理的无矛盾性是相对于实数的无矛盾性，因此自然要进一步考虑实数系的公理化及其无矛盾性，于是首当其冲的问题是算术的公理化。

　　2算术的公理化

　　数学，顾名思义是一门研究数的科学。自然数和它的计算——算术是数学最明显的出发点。历史上不少人认为，所有经典数学都可以从自然数推导出来。可是，一直到十九世纪末，却很少有人解释过什么是数？什么是0？什么是1？这些概念被认为是最基本的概念，它们是不是还能进一步分析，这是一些数学家关心的问题。因为一旦算术有一个基础，其他数学部门也就可以安安稳稳建立在算术的基础上。

　　什么东西可以做为算术的基础呢？在历史上有三种办法：康托尔的基数序数理论，他把自然数建立在集合论的基础上，并把自然数向无穷推广；弗雷格和罗素把数完全通过逻辑词汇来定义，把算术建立在纯逻辑的基础上；用公理化的方法通过数本身的性质来定义，其中最有名的是皮亚诺公理。

　　在皮亚诺之前，有戴德金的公理化定义。他的方法是准备向有理数、实数方面推广，为数学分析奠定基础。他们也都注意到逻辑是基础，但都有非逻辑公理。

　　1888年，戴德金发表《什么是数，什么是数的目的？》一文，阐述他的数学观点。他把算术(代数、分析)看成逻辑的一部分，数的概念完全不依赖人对空间、时间的表象或直觉。他说“数是人类心灵的自由创造，它们做为一个工具，能使得许许多多事物能更容易、更精确地板掌握”。而创造的方法正是通过逻辑。他的定义是纯逻辑概念——类(system)，类的并与交，类之间的映射，相似映射(不同元素映到不同元素)等等。通过公理定义，戴德金证明数学归纳法。但是他没有能够直接从纯逻辑名词来定义数。

　　1889年，皮亚诺发表他的《算术原理：新的论述方法》，其中明显地做了两件事：第一，把算术明显地建立在几条公理之上；第二，公理都用新的符号来表达。后来皮亚诺刻划数列也同弗雷格一样是从0开始，但是他对数的概念也同戴德金一样，是考虑序数。

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