小升初数学测试题:数论之带余除法

2016-12-19 12:49:32来源:网络

  二、求除数类

  1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。

  例1.一个数去除551,745,1133这3个数,余数都相同。问这个数最大可能是几?

  解:745-551=194,1133-745=388。(194,388)=194,所以这个数最大是194。

  2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2, r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。

  例2.有一个整数,用它分别去除157,234和324,得到的三个余数之和是100。求这个整数?

  解:157+324+234-100=615,615=3×5×41。100÷3=33……1,即最小的除数应大于34,小于157。所以满足条件的有41、123两个,经过验算可知正确答案为41。

  三、求余数类

  例1.已知整数n除以42余12,求n除余21的余数?

  解:由已知条件可知,n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以,n除以21的余数为12。

  例2.有一个整数,除1200,1314,1048所得的余数都相同且大于5。问:这个相同的余数是多少?

  解:因为

  1314-1200=114=3×38,

  1200-1048=152=4×38。

  某自然数应当是这两个差的公约数,即38。又因为

  1200÷38=31(余22)

  1314÷38=34(余22)。

  所以,这个相同的余数是22。

  例3.求19901990除以3所得的余数?

  解:由同余的性质可知:对于同一个模,同余的乘方仍同余。

  因为,

  1990被3除余1,即19901990≡11990≡1,

  所以19901990除以3所得的余数为1。

  例4.有一个77位数,它的各位数字都是1,这个数除以7,余数是多少?

  解:根据被7整除的特征知,111111能被7整除。

  77 ÷6=12(余5),

  11111÷7=1587(余2)。

  所以,这个数除以7的余数是2。

  例5.1,1,2,3,5,8,13,……,90个数排成一列,从第三个数起,每个数都等于它前面两个数的和。那么,这90个数的和除以5的余数是多少?

  解:这一列数被5除的余数依次为1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,……。

  余数从头起20个数一个周期循环出现,而且这20个数的和40又恰为5的倍数。

  90÷20=4(余10)

  这列数中前10个数的余数和为

  1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18

  18÷5=3(余3)

  所以,这90个数的和除以5的余数为3。

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