小学数学小故事：九连环与格雷码

2017-03-27 14:46:54来源：网络

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　　我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是

　　10111－11101－22－10110

　　00111－11100－23－10111

　　00101－10100－24－11000

　　10101－10101－25－11001

　　11101－10111－26－11010

　　01101－10110－27－11011

　　01001－10010－28－11100

　　11001－10011－29－11101

　　10001－10001－30－11110

　　00001－10000－31－11111

　　这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

　　注由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110.

　　由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变。

　　例格雷码11011表示为二进制数是10010.

　　以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。

　　例设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？过程如何？

　　解初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。

　　简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，

　　对于N=141，得到N0=103；对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。

　　(来源：新东方在线论坛)

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